Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

Schritt 2.2.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Schritt 2.2.1.2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Schritt 2.2.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.2.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 2.2.2

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Schritt 5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $1$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$